HP ha hecho un gran esfuerzo porque sus impresoras funcionen en Linux. Ha desarrollado todo un protocolo de impresión llamado HPLIP (HP Linux Imaging and Printing) que actualizan cada vez que sacan una nueva impresora al mercado y/o añaden nuevas funcionalidades a las que ya están comercializadas.
He comprado una HP Deskjet 3720 all-in-one y ya la tengo operativa en mi ordenador, en el que tengo instalado Elementary OS Loki.
En realidad la documentación que he usado es para Ubuntu, pero ya sabes que esta versión de Elementary está basada en Ubuntu 16.04.
He seguido paso a paso las indicaciones que aquí figuran y no he tenido ningún gran problema, sino algún detalle de dependencias sobre Python que he podido resolver:
http://hplipopensource.com/hplip-web/install/manual/distros/ubuntu.html
Debo reconocer que no ha sido trivial, que he estado un buen rato buceando en internet, leyendo, probando,... hasta que por fin ha funcionado.
En cuanto vi salir la página de prueba con HPLIP
lo vi claro: esto funciona
En el siguiente vídeo te muestro evidencias de la impresora imprimiendo desde mi Elementary OS tanto por Wifi como por USB:
En el siguiente enlace verás una forma mucho más sencilla de configurar la impresora (actualizado mayo 2019):
